数学之美之斐波那契数列

1. 数学之美之斐波那契数列

斐波那契数列  （Fibonacci sequence），又称 黄金分割 数列、因 数学家 列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“ 兔子数列 ”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以 递归 的方法定义：F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。(摘抄自【百度百科】)
  
 简单点说就是：若一个数列，前两项为1 ，而从第三个开始，每一项都是前面两项的和，则称该数列为斐波那契数列
  
 新浪财经网：数学系美女炒股，巧用斐波拉契数列，她成功躲过了今年2次大跌，从去年7月到现在让自己的账户资金翻了两倍，斐波拉契数列是一个非常美丽、和谐的数列，即1、1、2、3、5、8、13、21……直至无穷大。这些数字从第三个开始，每一个都等于前面两个数之和。同时后一个数字和前一个数字的比值，无限接近于 黄金 (1320.50, -0.20, -0.02%)分割0.618。而将斐波拉契数列应用于投资则称为“周期”。从重要的市场顶部或底部起计算未来，得出的时间目标。其中的垂直线分别标志着未来第3、第8、第13、第21、第34、第55及第89个交易日的位置。这些日子可能意味着市场的重要转折点。
  
 下面图片是委内瑞拉艺术家Rafael Araujo单靠铅笔、尺、量角器画出了大自然中的奥妙数学：蝴蝶起飞的方式，贝壳的螺旋生长比例。他靠铅笔、尺、量角器画出了大自然中的奥妙数学。

2. 斐波那契数列的相关数学

 有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144种。求递推数列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通项公式由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。 斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对两个月后，生下一对小兔对数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对－－－－－－依次类推可以列出下表：  经过月数  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  幼仔对数  1  0  1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  成兔对数  0  1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  总体对数  1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233  幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....） 对于斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定义F(n)=F(n-1)+F(n-2)F(1)=1F(2)=1对于以下矩阵乘法F(n+1) = 11 F(n)F(n) 10 F(n-1)它的运算就是右边的矩阵 11乘以矩阵 F(n) 得到：10 F(n-1)F(n+1)=F(n)+F(n-1)F(n)=F(n)可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义设矩阵A=1 1 迭代n次可以得到：F(n+1) =A^(n) * F(1)= A^(n)*11 0 F(n) F(0) 0这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义。另矩阵乘法的一个运算法则A^n(n为偶数) = A^(n/2)* A^(n/2)，这样我们通过二分的思想，可以实现对数复杂度的矩阵相乘。因此可以用递归的方法求得答案。数列值的另一种求法：F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]其中[ x ]表示取距离 x 最近的整数。

3. 斐那波契数列

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……

起源
1202年数学家菲波那契提出了一个著名的兔子问题：假定一对兔子从第三个月起逐月生一对一雌一雄的小兔，每对小兔在两个月后也逐月生一对一雌一雄的小兔，…。问一年之后兔房里共有多少对兔子？ 　　菲波那契是这样来考虑的：设第n个月后兔房里的兔子数为an对，这an应由以下两部分组成：一部分是第n﹣1个月时已经在兔房里的兔子，它们有an﹣1对；另一部分是第n个月中新出世的，而这部分应有第n﹣2个月时兔房里的兔子所生，有a n﹣2对。 　　∴有递推关系式(An+1)=(An)+(An-1)（n∈N且n＞2），且易知A1=A2 =1。由这个递推关系式可以得到一年后的兔子对数A12=141。这也是递推方法应用的一个最著名的例子。 　　按照如上的递推，菲波拉契数列前几项如下： 　　1 1 2 3 5 8 13 21…… 　　从数学上，该数列也是可以推导出通项公式的，其通项公式推导如下： 　　(An+1)=(An)+(An-1),将An项分解为(((1+√5)/2)+((1-√5)/2))(An)，然后移项，得到下式： 　　(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)(An)+(An-1) 　　即(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)((An)-((1+√5)/2)(An-1)) 　　即新数列{(An)+((1+√5)/2)(An-1)}是以((1-√5)/2)为首项，((1-√5)/2)为公比的等比数列 　　即(An)-((1+√5)/2)(An-1)=((1-√5)/2)^n 　　即(An)=((1+√5)/2)(An-1)+((1-√5)/2)^n 　　两边同时除以((1+√5)/2)^n，得又一新数列(Bn)=(Bn-1)+(((1-√5)/2)^n)/(((1+√5)/2)^(n+1)) 　　其中，(Bn)=An/(((1+√5)/2)^n) 　　依次递归，得到(Bn)=((1+√5)/2)^(-1)+2*(((1-√5)/(1+√5)^2)+(((1-√5)^2)/(1+√5)^3)+……+(((1-√5)^(n-1))/(1+√5)^n)) 　　将Bn带入，化简，得到An=((((1+√5)/2)^n)-(((1-√5)/2)^n))/(√5) 　　(注√表示根号) 　　该数列有以下几个性质： 　　1.随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割比 　　2.从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1 　　3.如果任意挑两个数为起始，按照菲波拉契数列的形势递推下去，随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割比，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值(菲波拉契数列的推广)。

4. 斐波那契数列的介绍

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci1）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

5. 关于斐波那契数列

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）（√5表示根号5）

6. 斐波那契数列求解

参考

7. 数学斐波那契数列问题

很明显斐波那契数列中的每一项除以后一项所得的值按顺序排列也构成一个数列，这个数列规律如下：
这个数列的极限是[(根号5)-1]/2,约等于黄金分割比0.618，即这个数列越往后，数值与[(根号5)-1]/2越接近，但永远取不到[(根号5)-1]/2。

8. 介绍下斐波那契数列。

斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368[1]
斐波那契数列特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。