时间随机序列的描述

1. 时间随机序列的描述

随机序列与连续随机信号一样，可以用概率分布函数和概率密度及数字特征进行描述。
1.2.2.1 概率分布函数
对于随机变量Xn，一维概率分布函数用下式表示

地球物理信息处理基础

对于二维概率分布函数表示为

地球物理信息处理基础

1.2.2.2 概率密度
如果随机变量Xn取连续值，那么一维概率密度函数为

地球物理信息处理基础

二维概率密度函数为

地球物理信息处理基础

概率密度或概率分布函数对随机序列进行完整的描述，但在实际中往往无法得到它。为此，需要引入随机序列的数字特征来描述，而这些数字特征在实际中比较容易进行测量和计算。一般只要获得这些数字特征就能满足要求。常用的数字特征有数学期望、方差和相关函数。

2. 讨论随机序列平稳性

应该先从以下几点：
1、特点序列的统计特性不随时间的平移而变化2、模型自回归移动平均模型（ Auto Regressive Moving Average Model）简称 ARMA 模型（1）一般自回归模型 AR( n )Xt仅与前n个时刻有关（类似于马尔可夫）Xt = ϕ1 Xt−1 +ϕ2 Xt−2 +L +ϕn Xt−n + atat 独立于Xt−1 , Xt−2 ,L , Xt−n 的白噪声序列， at ~ N(0,σa)。(2)移动平均模型 MA(m)一个系统在 t 时刻的响应Xt ，与其以前时刻 t-1, t-2,……的响应 Xt−1 , Xt−2……无关，而与其以前时刻t −1, t − 2,…… ,t − m 进入系统的扰动 at−1 , at−2 ，……, at−m 存在着一定的相关关系，那么，这一类系统为 MA(m) 系统。Xt = at −θ1*at−1 −θ2*at−2 −…… −θm*at−m（ 3）自回归移动平均模型一个系统，如果它在时刻 t 的响应Xt ，不仅与其以前时刻的自身值有关，而且还与其以前时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系，那么，这个系统就是自回归移动平均系统。ARMA(n, m) 模型为:   前n个时刻的序列，前m个时刻的扰动Xt −ϕ1 Xt−1 −L −ϕn Xt−n = at −θ1at−1 −L −θmat−m对于平稳系统来说，由于AR、MA、ARMA(n, m)模型都是 ARMA(n, n −1) 模型的特例，我们以ARMA(n, n-1）模型为一般形式来建立时序模型。

3. 平稳随机序列

在信息处理与传输中，经常遇到一类称为平稳随机序列的重要信号。所谓平稳随机序列，是指它的N维概率分布函数或N维概率密度函数与时间n的起始位置无关。换句话说，平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而发生变化。如果将随机序列在时间上平移k，其统计特性满足等式：

地球物理信息处理基础

这类随机序列就称为平稳随机序列。然而，在实际情况中，这一平稳条件很难得到满足，因此常将这类随机序列称为狭义（严）平稳随机序列。大多数情况下，虽然随机序列并不是平稳随机序列，但是它们的均值和均方值却不随时间而改变，其相关函数仅是时间差的函数，一般将这一类随机序列称为广义（宽）平稳随机序列。下面我们重点分析研究这类平稳随机序列。为简单起见，将广义平稳随机序列简称为平稳随机序列。
平稳随机序列的一维概率密度函数与时间无关，因此均值、方差和均方值均与时间无关，它们可分别表示为
μx=E［X（n）］=E［X（n+m）］ （1-17）

地球物理信息处理基础

二维概率密度函数仅仅取决于时间差，与起始时间无关；自相关函数与自协方差函数是时间差的函数。自相关函数rxx（m）与自协方差函数cxx（m）（用cxx（m）表示covxx（m））分别为
rxx（m）=E［X（n+m）X*（n）］ （1-20）
cxx（m）=E｛［X（n+m）-μx］［X（n）-μx］*｝ （1-21）
对于两个各自平稳而且联合平稳的随机序列，其互相关函数为
rxy（m）=rxy（n+m，n）=E［X（n+m）Y*（n）］ （1-22）
显然，对于自相关函数和互相关函数，下面公式成立

地球物理信息处理基础

如果对于所有的m，满足rxy（m）=0，则称两个随机序列互为正交。如果对于所有的m，满足rxy（m）=μxμy，cxy（m）=0，则称两个随机序列互不相关。
实平稳随机序列的相关函数、协方差函数具有以下重要性质
（1）自相关函数和自协方差函数是m的偶函数，即
rxx（m）=rxx（-m），cxx（m）=cxx（-m） （1-25）
而互相关函数和互协方差函数有如下关系
rxy（m）=ryx（-m），cxy（m）=cyx（-m） （1-26）
（2）rxx（0）在数值上等于随机序列的平均功率，即

地球物理信息处理基础

（3）
rxx（0）≥｜rxx（m）｜ （1-28）
（4）

地球物理信息处理基础

（5）
上两式说明大多数平稳随机序列内部的相关性随着时间差的变大，愈来愈弱。
（6）

地球物理信息处理基础

4. 随机序列的随机序列的定义

随机序列的产生为了形容随机变量形成的序列。一般的，如果用X1，X2……Xn（表示n下标于X）代表随机变量，这些随机变量如果按照顺序出现，就形成了随机序列，记做X^n（表示n上标于x）。这种随机序列具备两种关键的特点：其一，序列中的每个变量都是随机的；其二，序列本身就是随机的。

5. 随机序列的随机序列举例说明

为了说明什么是随机序列，我们来举两个例子。假设我们持续扔一个色子，我们把这个事件细分，那么这个事件应该包括扔第一次色子得到的点数，扔第二次得到的点数，直到扔第n次得到的点数。把每次扔的的点数按顺序分别记做X1，X2……，Xn。这里每个X的取值可能为{1 2 3 4 5 6}。那么我们可以写出随机序列：X^n = X1X2X3……Xn更实际的，我们可以用高速路收费站来说明。假设一个收费站有10个出口。那么，把收费站出口出去的车数记做随机变量Xn，这里Xn就是集合{X1，X2……，Xn}，集合中每个元素的取值为{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}。那么如果按照时间顺序观察，不难得出一个随机序列，这个序列表示出口出去车数的一个变化情况，是一个序列，记做：X^n = X1X2X3……Xn